写像

写像（mapping）とは

写像とは、ある集合のすべての要素に対して、別の集合の要素を「1つだけ」対応させるルールのことです。
現代数学では「関数」をより一般化した概念として扱われます。

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イメージで理解する

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* 左の集合（A）から右の集合（B）へ
* 各要素に矢印が1本だけ出る

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1. 定義と基本構造

写像は通常、次のように書きます：

[
f : A \to B
]

* 定義域（domain）：( A )（元になる集合）
* 終域（codomain）：( B )（対応先の集合）
* 像（image）：
( a \in A ) に対して対応する ( f(a) \in B )

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2. 必ず守るルール（超重要）

✔ ① すべての要素に対応

* Aのすべての要素は、必ずBのどれかに対応する

✔ ② 対応は1つだけ

* 1つの要素が複数の値に飛ぶのはNG

👉 つまり
「1対1じゃなくてもいいが、1対多はダメ」

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3. 写像の種類

■ 単射（injection）

異なる入力 → 異なる出力

[
a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2)
]

👉 「かぶらない」

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■ 全射（surjection）

Bのすべての要素が使われる

👉 「取りこぼしなし」

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■ 全単射（bijection）

単射 ＋ 全射

👉 「完全1対1対応」＝逆関数が作れる

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4. 具体例

■ 関数の例（最も基本）

[
f(x) = x^2
]

genui{"math_block_widget_always_prefetch_v2":{"content":"y = x^2"}}

* 実数 → 実数への写像
* 例：
(2 \rightarrow 4), (-3 \rightarrow 9)

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■ 定数写像

すべて同じ値に飛ぶ
例：
[
f(x) = 5
]

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■ 恒等写像（identity）

[
f(x) = x
]

👉 「そのまま返す」

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■ 身近な例

* 人 → 誕生日
* 学生 → 学籍番号

👉 「必ず1つに決まる」なら写像

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5. 関連概念

* 逆像（preimage）
→ ある値になる元を集める

* 合成写像
→ 写像をつなげる
[
(g \circ f)(x) = g(f(x))
]

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まとめ（超シンプル）

👉 写像とは
「入力1つ → 出力1つ」に決まるルール

* 全部に対応する
* 1つにしか対応しない
* でも同じ値に集まるのはOK

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